Bon, maintenant que vous avez les formules, on peut passer aux choses sérieuses. S' il est facile d' apprendre les formules, les appliquer se révele assez compliqué lorsque l' on n' utilise aucune méthode.
Nous allons commencez par résoudre des équations, ce qui équivaut à trouver x à partir d' un sinus ou cosinus.
Tout d' abord, il est indispensable que vous appreniez vos cosinus et vos sinus. Car même avec la bonne formule, c' est grace à eux que vous obtenez un résultats.
COSINUS ET SINUS
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Mesure en Rad |
0 |
p /6 |
p /4 |
p /3 |
p /2 |
|
Mesure en degré |
0° |
30° |
45° |
60° |
90° |
|
Sinus |
0 |
1/2 |
Ö 2/2 |
Ö 3/2 |
1 |
|
Cosinus |
1 |
Ö 3/2 |
Ö 2/2 |
1/2 |
0 |
|
Tangente |
0 |
Ö 3/3 |
1 |
Ö 3 |
Impossible |
Toutes ces mesures ne vous serviront jamais si vous voulez calculer un sinus ou un cosinus. Par contre, grace à elle, vous pourrez calculer x.
Il est trés important de savoir cela ! C' est assez simple : si dans l' exercice vous avez une question du genre Trouver sin p/12, la, il faudra utiliser les formules du début. Mais si vous avez une question : Trouver x, en déduire x, etc... La il faudra utiliser votre tableau des cosinus et sinus.
Bon, jusque la ca va, on a déja fait ca c' est pas trop compliqué.
I) APPLICATION pour les COSINUS
Imaginons que l' on vous donne un énoncé de ce genre là :
cos 2x = Ö 2 /2 Trouvez x
C' est une équation basique. Franchement, c' est la plus simple ! Il est donc indispensable de la maitriser ! Je vais vous montrer la réponse attendue, ensuite, je remettrais la réponse mais en détaillant les étapes.
Voila la réponse exact que l' on attendra :
cos 2x = Ö 2 / 2 = cos p /4
Donc : 2x = p /4 + 2kp ou 2 x = -p /4 + 2kp
x = p / 8 + kp x = -p /8 + kp
Si k = 0 x = p / 8 ou x= -p / 8
Si k = 1 x = 9p / 8 ou x = 7p / 8
Si vous comprenez ma réponse, passez directement au chapitre suivant (Application au sinus). Sinon, suivez mon explication. Je vais détaillez ma réponse et expliquer chacune des étapes.
Etape 1 : cos 2x = Ö 2 / 2 = cos p /4 J' ai le droit d' écrire ça car je connais la valeur de l' angle dont le cosinus est égal à p /4. En effet, si je regarde dans mon tableau,
cos p /4 = Ö 2 / 2 . Si vous ne comprenez pas cette étape, je ne peux rien pour vous désolé.
Etape 2 : Donc : 2x = p /4 + 2kp ou 2x = -p /4 + 2kp
Cette étape n' est pas trés compliquée à comprendre (il suffit d' être attentif). On a vu que cos 2 x = cos p /4. Si vous regardez sur votre cercle trigométrique, vous remarquez que :
cos p /4 = cos - p /4
On obtient donc deux solutions. Ou : 2x = p /4 ou 2x = -p /4 .
Mais attention ! Cette angle la ne changera pas si vous faites un tour complet du cercle. En effet, p /4 est placé au même endroit que 9p /4 par exemple. C' est pourquoi on ne doit pas écrire simplement
2x = p /4 ou 2x = -p /4 mais 2x = p /4 + 2kp ou 2x = -p /4 + 2kp.
Un tour entier du cercle équivaut à 2p. C' est pourquoi 2kp correspond au nombre de tour que l' on pourrais faire pour revenir au même endroit du cercle.
Etape 3 : x = p / 8 + kp ou x = -p /8 + kp
Ici, ce n' est pas trés compliqué On a divisé par deux de chaque coté pour pouvoir obtenir x puisque c' est lui qu' on cherche.
Etape 4 :
Si k = 0 x = p / 8 ou x= -p / 8
Si k = 1 x = 9p / 8 ou x = 7p / 8
Ici, c' est un petit peu plus compliqué. Dans cette énoncé, on a donné aucun intervalle. C' est pourquoi, pour faire simple, vous devez donnez autant de solution de x que le nombre qui multiplie x. Ici on avait 2x, on a donc deux solutions : k = 0 et k = 1 . Si vous aviez eu 3x, vous auriez eu trois solutions et vous auriez du remplacer k par 0, 1 et 2.
Donc si vous n' avez pas d' intervalle, vous regardez le nombre qui multiplie x et vous remplacez k autant de fois que ce nombre.
Donc si k = 0 , on remplace k par 0 dans le calcul et on obtient
x = p / 8 ou x= -p / 8
On fait pareil pour k = 1
x = 9p / 8 ou x = 7p / 8
Et voila, on a nos solutions !
II. APPLICATION pour les SINUS
Maintenant que vous savez résoudre une équation avec des cosinus, il faut les résoudre avec les sinus. Ce n' est pas compliqué, seul l'étape 2 change. Pour ne pas trop s' embrouiller, je vais recommencer un autre exercice de démonstration.
Imaginons que l' on vous donne un énoncé de ce genre là :
sin 3x = 1 / 2 Trouver x
Voila la réponse exact que l' on attendra :
sin 3x = 1 / 2 = sin p/6
Donc : 3x = p/6 + 2k p ou 3x = p - p/6 + 2kp
x = p /18 + 2/3kp ou x = p/3 - p/18 + 2/3kp
x = 5p /18 + 2/3 k p
Si k = 0 x = p/18 ou x = 5p /18
Si k = 1 x = 13p /18 ou x = 17p /18
Si k = 2 x = 25p /18 ou x = 29p /18
Si vous comprenez ma réponse, passez directement au chapitre suivant (« Le problème des encadrements »). Si vous ne comprenez pas, c' est parti pour un seconde explication :
Pour la première étape, comme tout à l' heure, vous regardez quel angle a un sinus de 1 / 2. Il s' agit ici de notre cher ami p/6. On a donc
sin 3x = 1 / 2 = sin p/6
La deuxième étape, ca change légèrement, car sin p/6 n' est pas égal à sin -p/6, non pas du tout !!! Erreur fatale à ne surtout pas commettre en devoir... On a sin 3x = sin p/6. De la, on peut écrire :
3x = p/6 + 2k p ou 3x = p - p/6 + 2kp
Pourquoi ? Parce que regardez ou se trouve le sinus de même valeur que
sin p/6 sur le cercle trigonométrique , il est à l' oppposé du coté gauche et vaut 5p /6 soit
p - p/6
On obtient donc :
3x = p/6 + 2k p ou 3x = p - p/6 + 2kp
De là, il suffit de continuer selon les même étapes que pour les cosinus. Vous pouvez donc passer au chapitre trois ! Quoi ! Vous n' arriver pas à finir l' exercice ? Bon aller, je vous le finis en détaillant :
Vous voulez donc obtenir x, mais vous avez 3x. Eh bien divisez par trois des chaques cotés tout simplement, vous obtenez :
x = p /18 + 2/3kp ou x = p/3 - p/18 + 2/3kp
En développant, ca vous fait :
x = p /18 + 2/3kp ou x = 7p /18 + 2/3 k p
Puis, toujours comme les cosinus, vous regardez le nombre qui multiplie x (s' il n' y a pas d' intervalle donné). Ici, c' est 3. Il y a donc trois solutions (k = 0, k = 1, k = 2). On obtient en remplacant k par 0 :
Si k = 0 x = p/18 ou x = 5p /18
Si k = 1 x = 13p /18 ou x = 17p /18
Si k = 2 x = 25p /18 ou x = 29p /18
Et voilà, vous savez resoudre les équations les plus simples ! Mais il vous reste une chose à apprendre concernant les équations : le problème des intervalles ! La suite dans le prochain article
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